Question

已知函數(shù)f(x)＝2x³－3ax²＋1．

(1)若x＝1為函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)函數(shù)f(x)的極值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝2x3－3ax2＋1，∴＝6x2－6ax．依題意得＝6－6a＝0，解得a＝1． 　　所以f(x)＝2x3－3x2＋1，＝6x(x－1)．令＝0，解得x＝0或x＝1．列表如下： 　　所以當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值f(0)＝1； 　　當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值f(1)＝0． 　　(2)∵＝6x2－6ax＝6x(x－a)， 　　∴①當(dāng)a＝0時(shí)，＝6x2≥0，函數(shù)f(x)在(－¥ ，＋¥ )上單調(diào)遞增； 　　②當(dāng)a＞0時(shí)，＝6x(x－a)，、f(x)隨x的變化情況如下表： 　　由上表可知，函數(shù)f(x)在(－¥ ，0)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋¥ )上單調(diào)遞增； 　�、弁�理可得，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－¥ ，a)上單調(diào)遞增，在(a，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋¥ )上單調(diào)遞增． 　　綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－¥ ，＋¥ )； 　　當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－¥ ，0)和(a，＋¥ )，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，a)； 　　當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－¥ ，a)和(0，＋¥ )，單調(diào)遞減區(qū)間是(a，0)．