Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為1，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）有極值，求實數(shù)a的取值范圍和函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，函數(shù)g（x）=x³﹣x﹣2，證明：x₁∈（1，e），x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）
∵函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為1，
∴
∴
（Ⅱ）由，可得
∵x∈（1，e）∴∴
經(jīng)檢驗時，f（x）有極值．
∴實數(shù)a的取值范圍為．
列表

f（x）的極大值為
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得
又∵
∴當(dāng)時，函數(shù)f（x）的值域為
當(dāng)時，函數(shù)f（x）的值域為．
（Ⅲ）證明：∵當(dāng)x∈（1，e）時，g'（x）=3x²﹣1＞0，
∴g（x）在（1，e）上為單調(diào)遞增函數(shù)
∵g（1）=﹣2，g（e）=e³﹣e﹣2
∴g（x）在（1，e）的值域為（﹣2，e³﹣e﹣2）
∵e³﹣e﹣2＞，﹣2＜ae+1，﹣2＜a
∴（﹣2，e³﹣e﹣2），（﹣2，e³﹣e﹣2）
∴x₁∈（1，e），x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．