Question

（本題滿分12分）
如圖，四棱錐的側(cè)面垂直于底面，，，，在棱上，是的中點(diǎn)，二面角為

（1）求的值；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）。（2）直線與平面所成角的正弦值為。

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面所成的角，其中方法一的關(guān)鍵是熟練掌握二面角及線面夾角的定義，方法二的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．
解法一（幾何法）：（Ⅰ）作ME∥CD交CD于E，由已知中，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，N是AD的中點(diǎn)，可得BN⊥AD，結(jié)合側(cè)面PAD垂直于底面ABCD，及面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可得BN⊥NE，即∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，由二面角M-BN-C為30°，可得∠DNE=30°，可求出DE= DP，進(jìn)而得到所求的值。
（2）連接BE，由（Ⅰ）可知PE⊥平面BMN，即∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連接PN，則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，解△PBE可得直線PB與平面MBN所成的角。解法二（向量法）：（Ⅰ）建立如圖所示的坐標(biāo)系N-xyz，設(shè)PM=λPC（λ＞0），求出面MBN的法向量，及面BNC的法向量，由二面角M-BN-C為30°，求出λ值，即可得到值。
（2）由上可知（，0，3）為面MBN的法向量，設(shè)直線PB與平面MBN所成的角為θ，求出PB的方向向量
PB，代入線面夾角公式sinθ，可得直線PB與平面MBN所成的角．
（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，其中，，，，，。設(shè)，則，于是，……3分
設(shè) 為面的法向量，則，，取，又為面的法向量，由二面角為，得，
解得故。……6分
（2）由（1）知，為面的法向量……8分
設(shè)直線與平面所成的角為，由得
，
所以直線與平面所成角的正弦值為。……12分