Question

若方程

2x-x2

=kx-2k+2有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A、[-

  3

  4

  ，

  3

  4

  ]
• B、(

  3

  4

  ，1]
• C、[-1，1）
• D、[-1，

  3

  4

  )

Answer 1

分析：由題意可得，曲線y=

2x-x2

的圖象和直線y=k（x-2）+2有2個不同的交點．求出直線BO的斜率為1，設(shè)切線BC的斜率為k′，再根據(jù)圓心A（1，0）到直線BC的距離等于1求得 k′的值，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：由題意可得，曲線y=

2x-x2

 的圖象和直線y=k（x-2）+2有2個不同的交點．
而曲線y=

2x-x2

即 （x-1）²+y²=1，表示以點A（1，0）為圓心、半徑為1的半圓，
直線y=k（x-2）+2經(jīng)過定點B（2，2），如圖所示：
直線BO的斜率為1，設(shè)切線BC的斜率為k′，則切線方程為y-2=k′（x-2），即k′x-y+2-2k′=0，
再根據(jù)圓心A（1，0）到直線BC的距離等于1可得

|k′-0+2-2k′|

k′2+1

=1，解得 k′=

3

4

，
故實數(shù)k的取值范圍為（

3

4

，1]，
故選：B．

點評：本題考查方程有兩個實數(shù)解的條件，直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，求出直線在AC位置時的斜率k值及切線CD的斜率，是解題的關(guān)鍵，屬于
中檔題．