【題目】已知直線,點(diǎn)
,點(diǎn)
是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動點(diǎn),且點(diǎn)
到直線
的距離是點(diǎn)
到點(diǎn)
的距離的2倍.記動點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線
與曲線
交于
、
兩點(diǎn),若
(
是坐標(biāo)系原點(diǎn))的面積為
,求直線
的方程;
(3)若(2)中過點(diǎn)的直線
是傾斜角不為0的任意直線,仍記
與曲線
的交點(diǎn)為
、
,設(shè)點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn),直線
與直線
交于點(diǎn)
,求
的大小.
【答案】(1);(2)直線
或
;(3)
.
【解析】
(1)由題意可得,化簡可得曲線
的方程.
(2)討論直線的斜率不存在和存在兩種情況.當(dāng)直線
的斜率不存在時,求出
的面積,易判斷是否成立. 當(dāng)直線
的斜率存在時,設(shè)直線
,由方程組
消元,韋達(dá)定理可求弦長
,又點(diǎn)
到直線
的距離
,所以
的面積
,可求
值,即可求直線
的方程.
(3)討論直線的斜率不存在和存在兩種情況. 當(dāng)直線
的斜率不存在時,易求
的值. 當(dāng)直線
的斜率存在時,設(shè)直線
.由(2)中的結(jié)論可得點(diǎn)
的坐標(biāo),可寫出直線
的方程,求出點(diǎn)
的坐標(biāo).最后用向量的方法求
的值.
(1)根據(jù)題意,可知,,
化簡得.
.
(2)因?yàn)橹本過焦點(diǎn)
,故直線與橢圓總交于
、
兩點(diǎn).
若直線與
軸垂直,可算得
,
,不滿足條件.
于是,所求直線的斜率存在.
設(shè)直線的斜率為
,即
.
聯(lián)立方程組,得
(此時
恒成立).
,
點(diǎn)到
的距離為
.
,
化簡得,即
解得.
所求直線
或
(或表示為一般式方程).
(3)若直線的斜率不存在,即垂直
軸,
根據(jù)橢圓的對稱性,知點(diǎn)與點(diǎn)
重合,點(diǎn)
,此時,有
.
若直線的斜率存在,設(shè)
.
由(2)可得,
.
直線
的傾斜角不為零,
.
直線
.
.
方法1:算得.又直線
方向向量為
,
且.
.
.(多想少算)
綜上,不論直線的斜率存在與否,總有
.
方法2:算得,
與
的交點(diǎn)為
,
.
可得向量與
的夾角滿足
,
即,
,
.
綜上,不論直線的斜率存在與否,總有
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場營銷人員進(jìn)行某商品的市場營銷調(diào)查時發(fā)現(xiàn),每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù),該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化,經(jīng)過試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下表:
反饋點(diǎn)數(shù)t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百件)/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(Ⅰ)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量
(千件)與返還點(diǎn)數(shù)
之間的相關(guān)關(guān)系.試預(yù)測若返回6個點(diǎn)時該商品每天的銷量;
(Ⅱ)若節(jié)日期間營銷部對商品進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購買該商品的消費(fèi)群體十分龐大,經(jīng)營銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間 (百分比) | [1,3) | [3,5) | [5,7) | [7,9) | [9,11) | [11,13) |
頻數(shù) | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
將對返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在和
的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名,再從這6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費(fèi)者的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三角形ABC為直角三角形,且,
,E,F分別為AB,AC的中點(diǎn),G,H分別為BE,AF的中點(diǎn)(如圖一),現(xiàn)在沿EF將三角形AEF折起至
,連接
,
,GH(如圖二).
(1)證明:平面
;
(2)當(dāng)平面平面EFCB時,求異面直線GH與EF所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求
的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)討論的零點(diǎn)的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,側(cè)棱
底面
,
為棱
上一點(diǎn),
(1)當(dāng)為棱
中點(diǎn)時,求直線
與平面
所成角的正弦值;
(2)是否存在點(diǎn),使二面角
的余弦值為
?若存在,求
的值.若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線
:
(
,
為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線
:
.
(1)說明是哪一種曲線,并將
的方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的方程為
,設(shè)
與
的交點(diǎn)為
,
,
與
的交點(diǎn)為
,
,若
的面積為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)和橢圓
. 直線
與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
.
(Ⅰ) 求橢圓的離心率;
(Ⅱ) 當(dāng)時,求
的面積;
(Ⅲ)設(shè)直線與橢圓
的另一個交點(diǎn)為
,當(dāng)
為
中點(diǎn)時,求
的值 .
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