Question

已知函數(shù)（a∈R）．（1）試判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）若f（x）為定義域上的奇函數(shù)，①求函數(shù)f（x）的值域；②求滿足f（ax）＜f（2a﹣x²）的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）為定義域（﹣∞，+∞），且，任取x₁，x₂∈（﹣∞，+∞），且x₁＜x₂則∵y=2^x在R上單調(diào)遞增，且x₁＜x₂

∴，，，，∴f（x₂）﹣f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)．…（5分）（2）∵f（x）是定義域上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），即對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，化簡(jiǎn)得，∴2a﹣2=0，即a=1，…（8分）（注：直接由f（0）=0得a=1而不檢驗(yàn)扣2分）①由a=1得，∵2^x+1＞1，∴，…（10分）∴，∴故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?#65123;1，1）．…（12分）

②由a=1，得f（x）＜f（2﹣x²），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，∴x＜2﹣x²，…（14分）解得﹣2＜x＜1，

故x的取值范圍為（﹣2，1）．…（16分）