Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0，則當(dāng)x＞3時(shí)，2x²+2y²的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，結(jié)合圖象平移的知識(shí)可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，從而可知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把問題轉(zhuǎn)化為（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于圓的有關(guān)知識(shí)可求．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，
即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
又∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，
∴x²-6x+21＜8y-y²，
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，
設(shè)M（x，y），則當(dāng)x＞3時(shí)，M表示以（3，4）為圓心2為半徑的右半圓內(nèi)的任意一點(diǎn)，
則2x²+2y²表示在半圓內(nèi)任取一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方的2倍，
結(jié)合圓的知識(shí)可知13＜x²+y²＜49，
∴2x²+2y²的取值范圍是（26，98），
故答案為：（26，98）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖象的平移、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及圓的有關(guān)知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，借助于圖形的幾何意義減少了運(yùn)算量，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合及”轉(zhuǎn)化”的思想在解題中的應(yīng)用．