Question

已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的值

（2）判斷并證明的單調(diào)性；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：

（1）由題意可得函數(shù)的定義域是是奇函數(shù)，把,代入可得的值．

（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷,判斷單調(diào)性的解題過程為做差,變形,判斷符號,結(jié)論.

（3）由（1）可得在它的定義域是是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，不等式化為,可得 ，分和兩種情況分別求出實數(shù)的取值范圍

試題解析：(1) 由得

檢驗: 時,

對恒成立,即是奇函數(shù).

(2)判斷:單調(diào)遞增

證明:設(shè)則

即

又即，即，即

在上是增函數(shù)

(3)是奇函數(shù)

不等式

在上是增函數(shù)

對任意的，不等式恒成立

即對任意的恒成立

即對任意的恒成立

第一類:當(dāng)時,不等式即為恒成立,合題意;

第二類:當(dāng)時,有即

綜上:實數(shù)的取值范圍為

考點：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.