Question

【題目】某海警基地碼頭的正西方向海里處有海礁界碑，過點(diǎn)且與成角(即北偏東)的直線為此處的一段領(lǐng)海與公海的分界線(如圖所示)。在碼頭的正西方向且距離點(diǎn)海里的領(lǐng)海海面處有一艘可疑船停留，基地指揮部決定在測(cè)定可疑船的行駛方向后，海警巡邏艇從處即刻出發(fā)。若巡邏艇以可疑船的航速的倍前去攔截，假定巡邏艇和可疑船在攔截過程中均未改變航向航速，將在點(diǎn)處截獲可疑船。

(1)若可疑船的航速為海里小時(shí)，，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡邏艇成功攔截可疑船所用的時(shí)間。

(2)若要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船，求的最小值。

Answer 1

【答案】（1）小時(shí)；（2）。

【解析】

(1) 設(shè)，則，利用余弦定理求出a值，進(jìn)而得到巡邏艇成功攔截可疑船所用的時(shí)間；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可疑船被截獲的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，利用直線與圓的位置關(guān)系得到結(jié)果.

(1)因?yàn)檠策壨У暮剿偈强梢纱�的航速�?倍，可疑船的航速為海里/小時(shí)，所以巡邏艇的航速為海里/小時(shí)，且，設(shè)，則，

又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以，

在中，有，

即，故，解得(負(fù)值舍去)

所以小時(shí)。

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，

因?yàn)檠策壨У暮剿偈强梢纱�的航速�?/span>倍，所以，

故，即

故可疑船被截獲的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，

又直線的方程為，即，

要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船，則：

圓心在直線下方，且的軌跡與直線至多只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以且

即，解得，

故要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船，則。