【題目】已知正項等比數(shù)列的前項和為,且,。數(shù)列的前項和為,且

(1)求數(shù)列的通項公式及其前項和

(2)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求出的通項公式;

(3)設(shè)數(shù)列,問是否存在正整數(shù) ,使得成等差數(shù)列,若存在,求出所有滿足要求的;若不存在,請說明理由。

【答案】(1);(2)證明見解析,;(3)存在正整數(shù) ,使得成等差數(shù)列。理由見解析。

【解析】

(1)利用等比數(shù)列基本量運算即可得到數(shù)列的通項公式及其前項和;(2) 得到 ,進(jìn)而求得 ,利用等差數(shù)列定義證明即可;(3) 因為,所以,利用反證法即可證明.

(1)設(shè)正項等比數(shù)列的公比為,則由,從而,又由,因此,,

所以,

(2)方法一:因為,所以

從而數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,故,

,

當(dāng)時,,且時適合,因此,,

從而當(dāng)時,為常數(shù),所以,數(shù)列為等差數(shù)列。

方法二:因為,

所以,當(dāng)時,有,

兩式相減得:,即

,即,

又由,從而,故,

所以,數(shù)列為等差數(shù)列。

(3)因為

所以,

假設(shè)存在存在正整數(shù) ,使得成等差數(shù)列,則

,即

,則原問題等價于存在正整數(shù),使得,即成立。

因為(因為),故數(shù)列單調(diào)遞增,

,即,則,

從而,即,而,

因此,,這與恒成立矛盾,故只能有,即

從而,故,即, (*)

①若為奇數(shù),,則記,從而,

因為數(shù)列單調(diào)遞增,所以數(shù)列單調(diào)遞減,故當(dāng)時,,而,故,因此,(*)式無正整數(shù)解。

②若為偶數(shù),則記,即,同理可得(*)無正整數(shù)解。

綜上,不存在存在正整數(shù),使得成等差數(shù)列,也即不存在正整數(shù) ,使得成等差數(shù)列。

練習(xí)冊系列答案
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