Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+a）（a∈R）有唯一的零點(diǎn)x₀，則（　�。�

• A． -1＜x₀＜-$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$＜x₀＜-$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{4}$＜x₀＜0
• D． 0＜x₀＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)的零點(diǎn)以及方程的根的關(guān)系，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二次導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，推出結(jié)果即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+a）（a∈R），則x＞-a，
可得f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+a}$，f′′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+a）^{2}}$恒大于0，
f′（x）是增函數(shù)，令f′（x₀）=0，則${e}^{{x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}+a}$，有唯一解時(shí)，
a=$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}-{x}_{0}$，代入f（x）可得：
f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-ln（{x}_{0}+a）$=${e}^{{x}_{0}}-ln（\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}）$=${e}^{{x}_{0}}+{x}_{0}$，
由于f（x₀）是增函數(shù)，
f（-1）≈-0.63，f（$-\frac{1}{2}$）≈0.11
所以f（x₀）=0時(shí)，-1$＜{x}_{0}＜-\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化是形成以及計(jì)算能力．難度比較大．