Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，將曲線C₁$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的2和$\frac{1}{2}$后得到曲線C₂．
（1）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程和曲線C₂的普通方程；
（2）已知直線1：ρ（cosθ+2sinθ）=4，點(diǎn)P在曲線C₂上，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C₁的普通方程，再求曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²=1．由伸縮變換得曲線C₂$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=cosθ}\\{2y=sinθ}\end{array}\right.$，由此能求出曲線C₂的普通方程．
（2）先求出直線l的直角坐標(biāo)，設(shè)P（2cosθ，$\frac{sinθ}{2}$），求出點(diǎn)P到直線l的距離，利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求出點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

解答 解：（1）∵將曲線C₁$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為x²+y²=1，
∴曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²=1．
∵曲線C₁$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的2和$\frac{1}{2}$后得到曲線C₂，
∴曲線C₂$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=cosθ}\\{2y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴曲線C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+4{y}^{2}$=1．
（2）∵直線1：ρ（cosθ+2sinθ）=4，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+2y-4=0，
∵點(diǎn)P在曲線C₂上，∴設(shè)P（2cosθ，$\frac{sinθ}{2}$），
∴點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ+α）-4|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{4-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}-5}{5}$．
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為$\frac{4\sqrt{5}-5}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程、普通方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化公式的合理運(yùn)用．