Question

已知曲線C：xy=1，過C上一點An（x_n，y_n）作一斜率的直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1）．
（1）求x_n與x_n+1之間的關系式；
（2）若，求證：數列是等比數列；
（3）求證：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…（-1）ⁿx_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

（1）解：∵C上一點An（x_n，y_n）作一斜率的直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1）．
∴k_n===-=
∴x_nx_n+1=x_n+2，即：x_n+1=1+．
（2）證明：設，由（1）得==-2（）=-2a_n
∵，∴=-2，∴數列{}是以2為首項，2為公比的等比數列；
（3）證明：由（2）得
∴
∴
∴（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=＜=+
當n為偶數時，則（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜++…+=1-＜1；
當n為奇數時，前n-1項為偶數項，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1+（-1）ⁿx_n，而
∴1+（-1）ⁿx_n=1-x_n＜1
∴（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1
綜上所述，當n∈N^*時，（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1成立．
分析：（1）利用C上一點An（x_n，y_n）作一斜率的直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1），求出斜率，即可得到x_n與x_n+1之間的關系式；
（2）設，由（1）得=-2a_n，從而可得數列{}是等比數列；
（3）先確定，證明（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜+，再分類討論，即可證得結論．
點評：本題考查了數列的遞推式，考查等比數列的證明，考查證明不等式，考查了學生推理能力和基本的運算能力．