Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），

（Ⅰ）設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對于任意實(shí)數(shù)≥0，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)

處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）＝－1；（2）；（3）不存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）， …1分 , 在處的切線的斜率為，…2分

又直線的斜率為，      ………………………3分

∴（）＝－1，∴ ＝－1.       ……………………5分

（Ⅱ）∵當(dāng)≥0時(shí)，恒成立，∴ 先考慮＝0，此時(shí)，，

可為任意實(shí)數(shù)；     ………………………6分

又當(dāng)＞0時(shí)，恒成立，則恒成立，  …………7分

設(shè)＝，則＝，

當(dāng)∈(0,1)時(shí)，＞0，在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)∈(1,＋∞)時(shí)，＜0，在(1,＋∞)上單調(diào)遞減，故當(dāng)＝1時(shí)，取得極大值，， ………9分

∴ 要使≥0，恒成立，＞－，∴ 實(shí)數(shù)的取值范圍為．  …10分

（Ⅲ）依題意，曲線C的方程為，

令＝，則＝

設(shè)，則，

當(dāng)，，故在上的最小值為，…………………12分

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直，則＝0，矛盾。 …13分

所以，不存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直.…14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；直線垂直的條件；導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。

點(diǎn)評：解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個(gè)基本思想解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。