Question

【題目】已知函數(shù) ．
（Ⅰ）如果f（x）在x=0處取得極值，求k的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當(dāng)k=0時(shí)，過點(diǎn)A（0，t）存在函數(shù)曲線f（x）的切線，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
∴
∵函數(shù)f（x）在x=0處取得極值
∴ ，解得：k=0
當(dāng)k=0時(shí)， ， ，
∴函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，符合題意．
（Ⅱ）因?yàn)? ．
①當(dāng)k≥1時(shí)，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）為減函數(shù)
②當(dāng)k＜1時(shí)，令f'（x）=0，則x=﹣ln（1﹣k），
當(dāng)x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上單調(diào)遞增；
（III）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0 ， y0），
則切線方程為y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0）
即
將A（0，t）代入得 ．
令 ，所以 ．
當(dāng) 時(shí)，x0=0．
所以 當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，M'（x）＞0，函數(shù)M（x）在x∈（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，M'（x）＜0，M（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減．
所以 當(dāng)x0=0時(shí)，M（x）max=M（0）=1，無最小值．
當(dāng)t≤1時(shí)，存在切線．
【解析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系即可求出k的值，（Ⅱ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間，（Ⅲ）切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0 ， y0），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可求出．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．