Question

1．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右頂點(diǎn)為A（2，0），且點(diǎn)C（1，1）在橢圓E上，直線CO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓E于點(diǎn)B．
（1）求橢圓E的方程；
（2）在橢圓E上是否存在點(diǎn)Q，使得|Q B|²-|Q A|²=2？若存在，有幾個(gè)（不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請說明理由；
（3）過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn) P，作⊙O：${x^2}+{y^2}=\frac{4}{3}$的兩條切線，切點(diǎn)分別為 M、N，若直線 M N在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$為定值．

Answer 1

分析 （1）橢圓的長半軸長a=2，推出A（2，0），設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|，通過條件推出△AOC為等腰直角三角形，將C的坐標(biāo)（1，1）代入橢圓方程得b橢圓E的方程；
（2）設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q，使得|QB|²-|QA|²=2，設(shè)Q（x₀，y₀），則B（-1，-1），
|QB|²-|QA|²=（x₀+1）²+（y₀+1）²-（x₀-2）²-y₀²=6x₀+2y₀-2=2，即3x₀+y₀-2=0，
代入x₀²+3y₀²-4=0，整理得：7x₀²-9x₀+2=0，方程的根判別式△=81-56=25＞0即可，
（3）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），由OM⊥MP，ON⊥NP，推出圓的方程，過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，求得OP為直徑的圓的方程，與⊙O：x²+y²=$\frac{4}{3}$相減可得直線MN的方程，求出直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，然后證明：$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$為定值．

解答 解：（1）依題意知，橢圓的長半軸長a=2，則橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$------------（2分）
將C的坐標(biāo)（1，1）代入橢圓方程得b²=$\frac{4}{3}$
∴所求的橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$----------------------------------------------（4分）
（2）設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q，使得|QB|²-|QA|²=2，設(shè)Q（x₀，y₀），則B（-1，-1），
|QB|²-|QA|²=（x₀+1）²+（y₀+1）²-（x₀-2）²-y₀²=6x₀+2y₀-2=2
即3x₀+y₀-2=0，--------①--------------------------------------------（6分）
又∵點(diǎn)Q在橢圓E上，∴x₀²+3y₀²-4=0，-----------------②--------------------（7分）
由①式得y₀=2-3x₀代入②式并整理得：7x₀²-9x₀+2=0，-----③
∵方程③的根判別式△=81-56=25＞0，
∴方程③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即滿足條件的點(diǎn)Q存在，且有兩個(gè)．---------（8分）
（3）證明：設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），由M、N是⊙O的切點(diǎn)知，OM⊥MP，ON⊥NP，
∴O、M、P、N四點(diǎn)在同一圓上，-------------------------------------（9分）
且圓的直徑為OP，則圓心為（$\frac{{x}_{1}}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），其方程為（x-$\frac{{x}_{1}}{2}$）²+（y-$\frac{{y}_{1}}{2}$）²=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}{4}$---（11分）
即x²+y²-x₁x-y₁y=0-----④
即點(diǎn)M、N滿足方程④，又點(diǎn)M、N都在⊙O上，
∴M、N坐標(biāo)也滿足方程⊙O：${x^2}+{y^2}=\frac{4}{3}$----------⑤
⑤-④得直線MN的方程為x₁x+y₁y=$\frac{4}{3}$----（12分）
令y=0得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$，令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$--------（13分）
∴x${\;}_{1}=\frac{4}{3m}$，y₁=$\frac{4}{3n}$又點(diǎn)P在橢圓E上，
∴（$\frac{4}{3m}$）²+3（$\frac{4}{3n}$）²=4，即$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$為定值$\frac{3}{4}$（14分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，過定點(diǎn)問題的解題策略．