Question

對于定義域為D的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列三個函數(shù)：①；   ②f（x）=x³；    ③f（x）=log₂x+1

則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是　　．

Answer 1

解答：解：①對于函數(shù)，若存在“等值區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，故有=a，=b，即（a，b），（b，a）點均在函數(shù)圖象上，且兩點關于y=x對稱，兩點只能同時是函數(shù)，與函數(shù)圖象的唯一交點．即只能是a=b，故①不存在“等值區(qū)間”．②對于函數(shù)f（x）=x³存在“等值區(qū)間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x³∈[0，1]．③對于 f（x）=log₂x+1，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故在區(qū)間[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函數(shù)存在“等值區(qū)間”[1，2]．存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是2個