Question

動點(diǎn)P在邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁上從B向D₁移動，點(diǎn)P作垂直于面BB₁D₁D的直線與正方體表面交于M，N，BP=x，MN=y，則函數(shù)y=f（x）的解析式為______．

Answer 1

由題意知，MN⊥平面BB₁D₁D，
則MN在底面ABCD上的射影是與對角線AC平行的直線，
∵BD=

3

，則DP=

3

-x
故當(dāng)動點(diǎn)P在對角線BD₁上從點(diǎn)B向D₁運(yùn)動時(shí)，x變大y變大，直到P為BD₁的中點(diǎn)（記為O）時(shí)，y最大為AC；
從而當(dāng)P在BO上時(shí)，分別過M、N、P作底面的垂線，垂足分別為M₁、N₁、P₁，
則y=MN=M₁N₁=2BP₁=2•xcos∠D₁BD=2•

2

3

x=

2 6

3

x
而當(dāng)P在DO上時(shí)，然后x變大y變小，直到y(tǒng)變?yōu)?，根據(jù)對稱性可知
此時(shí)y=2

2

-

2 6

3

x
故答案為：y=

2 6 3 x，x∈[0， 3 2 ] 2 2 - 2 6 3 x，x∈[ 3 2 ， 3 ]

也可寫為y=

2

-|

2

-

2 6

3

|，x∈[0，3]