Question

已知直三棱柱的三視圖如圖所示，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).由 是直三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以 ∥所以 ∥平面
（Ⅱ）（Ⅲ）為線段中點(diǎn)

解析試題分析：（Ⅰ）證明：根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).由 是直三棱柱，
得四邊形為矩形，為的中點(diǎn).
又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以 ∥，    2分
因?yàn)?平面，平面，
所以 ∥平面.            4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系.                          5分

，則.
所以 ， 
設(shè)平面的法向量為，則有
所以  取，得.            6分
易知平面的法向量為.
由二面角是銳角，得 .
所以二面角的余弦值為.          8分
（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/06/4/vnz9w1.png" style="vertical-align:middle;" />在線段上，，，故可設(shè)，其中.
所以 ，.               9分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/9c/1/1n6pd3.png" style="vertical-align:middle;" />與成角         10分
所以，解得，舍去.
所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角.  &n