Question

已知函數(shù)y=4^x+3×2^x+3，當(dāng)其值域?yàn)閇1，7]時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：令t=2^x（t＞0），可得y=t²+3t+3，由函數(shù)的值域?yàn)閇1，7]，得1≤t²+3t+3≤7，解出0＜t≤1．再將t還原成2^x，最后解關(guān)于x的不等式，即可得到實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：令t=2^x，可得y=4^x+3•2^x+3=t²+3t+3，（t＞0）
∵函數(shù)的值域?yàn)閇1，7]，
∴解不等式1≤t²+3t+3≤7，可得

t2+3t+2≥0 t2+3t-4≤0

，即有

t≥-1或t≤-2 -4≤t≤1

解此不等式組，由t＞0，得0＜t≤1，
∴0＜2^x≤1，即0＜2^x≤2⁰，
因此，x的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有指數(shù)式的“類(lèi)二次”函數(shù)，在已知值域的情況下求x的取值范圍，著重考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．