Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n+n=

3

2

a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+λ•（-2）ⁿ且數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）設數(shù)列{c_n}滿足c_n=

an

an+1

，求證：

n

3

-

1

8

＜c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n+n=

3

2

a_n．得n≥2時，sn-1+n-1=

3

2

an-1，兩式作差可得數(shù)列{a_n+1}是公比為3的等比數(shù)列，即可求得結論；
（Ⅱ）由題意可得b_n+1-b_n＞0，即2×3^n-1＞λ（-2）ⁿ，對任意的n∈N^*恒成立，即可解得結論；
（Ⅲ）由c_n=

an

an+1

=

3n-1

3n+1-1

，放縮即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n+n=

3

2

a_n．①
∴n=1時，a₁+1=

3

2

a1，∴a₁=2，
n≥2時，sn-1+n-1=

3

2

an-1，②
由①-②得，a_n+1=

3

2

an-

3

2

an-1，即a_n=3a_n-1+2，
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是公比為3的等比數(shù)列，又a₁+1=3，
∴a_n+1=3×3^n-1，∴an=3n-1．
（Ⅱ）解：∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+λ•（-2）ⁿ且數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，
∴b_n+1-b_n＞0，即a_n+1+λ•（-2）ⁿ⁺¹-a_n-λ•（-2）ⁿ＞0，
∴3ⁿ-3^n-1＞λ（-2）ⁿ，
即2×3^n-1＞λ（-2）ⁿ，對任意的n∈N^*恒成立，
∴-(

3

2

)n-1＜λ＜(

3

2

)n-1，∴-1＜λ＜

3

2

．
（Ⅲ）證明：c_n=

an

an+1

=

3n-1

3n+1-1

=

1

3

-

2

3

•(

1

3n+1-1

)＜

1

3

，
∴c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

，
又∵c_n=

an

an+1

=

3n-1

3n+1-1

＞

3n-1

3n+1

=

1

3

-

1

3n+1

＞

1

3

-

1

2n+1

，
∴c₁+c₂+…+c_n＞

n

3

-

1 32 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

n

3

-

1

6

（1-

1

3n

）＞

n

3

-

1

6

．
∴

n

3

-

1

6

＜c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義及遞增數(shù)列的性質和不等式的證明等知識，考查學生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，屬于難題．