Question

在一次運(yùn)動會上，某單位派出了有6名主力隊(duì)員和5名替補(bǔ)隊(duì)員組成的代表隊(duì)參加比賽．
（1）如果隨機(jī)抽派5名隊(duì)員上場比賽，將主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；
（2）若主力隊(duì)員中有2名隊(duì)員在練習(xí)比賽中受輕傷，不宜同時(shí)上場；替補(bǔ)隊(duì)員中有2名隊(duì)員身材相對矮小，也不宜同時(shí)上場；那么為了場上參加比賽的5名隊(duì)員中至少有3名主力隊(duì)員，教練員有多少種組隊(duì)方案？

Answer 1

解：（1）由題意知隨機(jī)變量X的取值是0、1、2、3、4、5，
∵當(dāng)X=0時(shí)，表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為0，以此類推，
∴P（X=0）=；
P（X=1）=；
P（X=2）=；
P（X=3）=；
P（X=4）=；
P（X=5）=．
∴隨機(jī)變量X的概率分布如下表：
E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×
=≈2.73
（2）由題意知
①上場隊(duì)員有3名主力，方案有：（C₆³-C₄¹）（C₅²-C₂²）=144（種）
②上場隊(duì)員有4名主力，方案有：（C₆⁴-C₄²）C₅¹=45（種）
③上場隊(duì)員有5名主力，方案有：（C₆⁵-C₄³）C₅⁰=C₄⁴C₂¹=2（種）
教練員組隊(duì)方案共有144+45+2=191種．
分析：（1）由題意知隨機(jī)變量X的取值是0、1、2、3、4、5，當(dāng)X=0時(shí)，表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為0，當(dāng)X=1時(shí)，表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為1，當(dāng)X=2時(shí)，表示主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)為2，以此類推，寫出概率和分布列求出期望．
（2）上場隊(duì)員有3名主力，方案有：（C₆³-C₄¹）（C₅²-C₂²）=144（種）；上場隊(duì)員有4名主力，方案有：（C₆⁴-C₄²）C₅¹=45（種）；上場隊(duì)員有5名主力，方案有：（C₆⁵-C₄³）C₅⁰=C₄⁴C₂¹=2（種）．列出三種情況，相加得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和應(yīng)用，本題這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．