Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°，設（1）求橢圓C的離心率e和λ的函數(shù)關(guān)系式e=f（λ）
（2）若橢圓C的離心率e最小，且橢圓C上的動點M到定點的最遠距離為，求橢圓C的方程．

Answer 1

解：（1）由（2分）
△PF₁F₂，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
即（4分）
上式兩邊同除以（2a）²，得（5分）∴（6分）
（2）由（1）知，∵，∴∴，等號當且僅當λ=1時成立，故（8分）
此時，則橢圓C的方程為
設M（x，y），又，則=，
其中y∈[-b，b]．（l0分）
①當即時，則當時，，得a=2，
則b²=3，，滿足條件．（12分）
②當即時，則當y=-b時，，得
不滿足條件，舍去．綜上所述，a=2，，所求橢圓C的方程為（14分）
分析：（1）由，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，由此能導出．
（2）由，知，此時，則橢圓C的方程為．設M（x，y），又，則=，由此能求出橢圓C的方程．
點評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，解題時要注意余弦定理的合理運用和分類討論思想的靈活運用．