Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，a∈R
（1）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線垂直于y軸，求實數(shù)a的值；
（2）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若x＞1時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$，函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線垂直于y軸，即f′（1）=0，解得a=1
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）由（2）得函數(shù)f（x）的單調(diào)性，分①a≤0，②0＜a≤$\frac{1}{2}$，③$\frac{1}{2}$＜a≤1，④a＞1討論求出實數(shù)a的取值范圍

解答 解（1）∵f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，（x＞0），∴f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$
函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線垂直于y軸，∴f′（1）=0，解得a=1；
（2）解：∵f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，（x＞0），
∴f′（x）=2x-（2a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$
①a≤0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增；
②0＜a＜$\frac{1}{2}$時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$或0＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，a），（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，在（a，$\frac{1}{2}$）遞減；
③a=$\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
④a＞$\frac{1}{2}$時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞a，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜a，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（a，+∞）遞增，在（$\frac{1}{2}$，a）遞減．
（3）由（2）得：①a≤0時，f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，∴f（x）在（1，+∞）遞增，
即∴x＞1時，f（x）＞f（1）=-2a≥0恒成立．
②0＜a≤$\frac{1}{2}$時，∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，∴f（x）在（1，+∞）遞增，
即x＞1時，f（x）＞f（1）=-2a＜0不符合題意；
③$\frac{1}{2}$＜a≤1時，∴f（x）在 （a，+∞）遞增，∴f（x）在（1，+∞）遞增，
即x＞1時，f（x）＞f（1）=-2a＜0不符合題意；
④a＞1時，∴f（x）在 （a，+∞）遞增，在（1，a）遞減．f（a）＜f（1）=-2a＜0不符合題意
 綜上，若x＞1時，f（x）＞0恒成立，實數(shù)a的取值范圍（-∞，0]．

點評 本題考查了函數(shù)的切線、單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道中檔題．