Question

已知f（x）=x+

2

x-1

+a，a∈R，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≥0；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）≥0可化為：x+

2

x-1

+2≥0；分當(dāng)x-1＞0時(shí)，和當(dāng)x-1＜0時(shí)，兩種情況解不等式，可得答案；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，若f（x）≥0恒成立，則a≥-（x+

2

x-1

）=-（x-1+

2

x-1

+1）恒成立，利用基本不等式求出-（x-1+

2

x-1

+1）的最大值，可得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）≥0可化為：x+

2

x-1

+2≥0；
當(dāng)x-1＞0時(shí)，

2

x-1

＞0，此時(shí)x+

2

x-1

+2≥0恒成立，即f（x）≥0恒成立，
當(dāng)x-1＜0時(shí)，

2

x-1

＜0，此時(shí)x+

2

x-1

+2≥0可化為x²+x≤0，解得：-1≤x≤0，
綜上所述不等式f（x）≥0的解集為：[-1，0]∪（1，+∞），
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，若f（x）≥0恒成立，
則a≥-（x+

2

x-1

）=-（x-1+

2

x-1

+1）恒成立，
由x-1+

2

x-1

≥2

2

，故x-1+

2

x-1

+1≥2

2

+1，
∴-（x-1+

2

x-1

+1）≤-2

2

-1，
則a≥-2

2

-1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2

2

-1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分式不等式的解法，基本不等式，恒成立問(wèn)題，函數(shù)的最值，是函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．