Question

設(shè)I是函數(shù)y=f（x）的定義域，若存在x₀∈I，使f（x₀）=-x₀，則稱x₀是f（x）的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，也稱f（x）在區(qū)間I上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”．若函數(shù)f（x）=ax³-3x²-x+1在R上存在三個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)x₀”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-2，0）∪（0，2）
• B、（-2，2）
• C、（-1，0）∪（0，1）
• D、（-1，1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知ax03-3x02+1=0在R上有三個(gè)解，由函數(shù)y=ax³-3x²+1有三個(gè)零點(diǎn)，由y′=3ax²-6x，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ax³-3x²-x+1在R上存在三個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)x₀”，
∴ax03-3x02-x0+1=-x0在R上有三個(gè)解，
即ax03-3x02+1=0在R上有三個(gè)解，
設(shè)y=ax³-3x²+1，
則y′=3ax²-6x，
由已知a≠0，令f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（-∞，0），f′（x）＞0；
x∈（

2

a

，+∞），f′（x）＞0；x∈（0，

2

a

），f′（x）＜0．
欲使f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，需f（

2

a

）＜0，即a²＜4，由a＞0，解得0＜a＜2；
當(dāng)a＜0時(shí)，x∈（-∞，

2

a

），f′（x）＜0；
x∈（

2

a

，0），f′（x）＞0；x∈（0，+∞），f′（x）＜0．
欲使f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，需f（

2

a

）＜0，即a²＜4，由a＜0，解得-2＜a＜0．
∴0＜a＜2或-2＜a＜0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．