Question

1．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱長均為a，D為BB₁上一點(diǎn)，則三棱錐C₁-ACD的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，由△ABC是等邊三角形，可得BE⊥AC，利用面面垂直的性質(zhì)可得：BE⊥平面?zhèn)让鍭CC₁A₁，再利用三棱錐C₁-ACD的體積V=${V}_{三棱錐D-AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×BE•{S}_{△AC{C}_{1}}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BE⊥AC，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，側(cè)面ACC₁A₁∩底面ABC，
∴BE⊥平面?zhèn)让鍭CC₁A₁，
${S}_{△AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}AC•C{C}_{1}$-$\frac{1}{2}×{a}^{2}$．
∴三棱錐C₁-ACD的體積V=${V}_{三棱錐D-AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×BE•{S}_{△AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}{a}^{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．