Question

已知等差數(shù)列{a_n}，其中a₁=25，a₄=16，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求{a_n}的前n項和S_n，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a₄-a₁=3d，從而可求d，進而可求通項
（2）由等差數(shù)列的求和公式可得，Sn=na1+

n(n-1)

2

d=25n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3n2

2

+

53n

2

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求S_n的最大值，
另解：由（1）知數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，要使前n項和S_n取最大值，只需滿足

an≥0 an+1＜0

，解不等式可求n，進而可求和

解答：解：（1）∵a₄-a₁=3d=-9，∴d=-3a_n=a₁+（n-1）d=25-3（n-1）=28-3n
（2）Sn=na1+

n(n-1)

2

d=25n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3n2

2

+

53n

2

當(dāng)n=-

b

2a

=-

53 2

2×(- 3 2 )

=

53

6

時，S_n取到最大值，但n∈N^*，所以取 n=9．
此時S_n的最大值為S9=-

3n2

2

+

53n

2

=-

3×81

2

+

53×9

2

=117
另解：由（1）知數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，要使前n項和S_n取最大值，只需滿足

an≥0 an+1＜0

即 

28-3n≥≥0 28-3(n+1)＜0

解得 8

1

3

＜n≤9

1

3

，又n∈N^*
∴n=9，即前9項和最大．
這時 S9=9a1+

9×8

2

d=9×25+

9×8

2

×(-3)=117

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，解題中要注意二次函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用．