Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
（1）求證：平面ADB⊥平面BDC；
（2）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求直線AE一平面ABD所成角的正弦值；
（3）設(shè)BD=1，求點(diǎn)D到面ABC的距離．

Answer 1

解：（1）證明：∵折起前AD是BC邊上的高
∴當(dāng)△ADB折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC
（2）如圖：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB、DA所在直線為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BD=1易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），A（0，0，），E（，，0），=（，，﹣），
取平面ABD的法向量為=（0，1，0）
∴cos＜，＞===
設(shè)直線AE與平面ABD所成角為θ，則sinθ=
∴直線AE與平面ABD所成角的正弦值為
（3）由（2）知，=（，，0），=（﹣1，0，），
設(shè)=（x，y，z）為平面ABC的法向量，則，
取=（3，﹣1，3）
則D點(diǎn)到面ABC的距離d===