已知雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右準(zhǔn)線(xiàn)l2與一條漸近線(xiàn)l交于點(diǎn)P，F(xiàn)是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)．
（1）求證：PF⊥l；
（2）若|PF|=3，且雙曲線(xiàn)的離心率e=
5
4
，求該雙曲線(xiàn)方程；
（3）延長(zhǎng)FP交雙曲線(xiàn)左準(zhǔn)線(xiàn)l1和左支分別為點(diǎn)M、N，若M為PN的中點(diǎn)，求雙曲線(xiàn)的離心率．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）右準(zhǔn)線(xiàn)l2為x=
a2
c
，設(shè)漸近線(xiàn)l為y=
b
a
x，則kPF=
ab
c
-0
a2
c
-c
=-
a
b
，kl=
b
a
，由此能證明PF⊥l．
（2）由已知得
|bc|
a2+b2
=3，從而b=3，又e=
c
a
=
5
4
，由此能求出雙曲線(xiàn)方程．
（3）PF為：y=-
a
b
（x-c），由
y=-
a
b
(x-c)
x=-
a2
c
，得M(-
a2
c
，
a(a2+c2)
bc
)，N(-
3a2
c
，
a(3a2+c2)
bc
)，由N在雙曲線(xiàn)上，能求出雙曲線(xiàn)的離心率．
解答： （1）證明：雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右準(zhǔn)線(xiàn)l2為x=
a2
c
，
由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)漸近線(xiàn)l為y=
b
a
x，
則P（
a2
c
，
ab
c
），又F（c，0），
∴kPF=
ab
c
-0
a2
c
-c
=-
a
b
，（2分）
又∵kl=
b
a
，∴kPF•kl=-
a
b
•
b
a
=-1，
∴PF⊥l．（4分）
（2）解：∵|PF|的長(zhǎng)即F（c，0）到l：bx-ay=0的距離，
∴
|bc|
a2+b2
=3，即b=3，（6分）
又e=
c
a
=
5
4
，
∴
a2+b2
a2
=
25
16
，∴a=4，
故雙曲線(xiàn)方程為
x2
16
-
y2
9
=1．（8分）
（3）解：PF的方程為：y=-
a
b
（x-c），
由
y=-
a
b
(x-c)
x=-
a2
c
，得M(-
a2
c
，
a(a2+c2)
bc
)，（9分）
∵M(jìn)是PN的中點(diǎn)
∴N(-
3a2
c
，
a(3a2+c2)
bc
)，（10分）
∵N在雙曲線(xiàn)上，
∴
9a2
c2
-
a2
c2
(
3a2+c2
b2
)2=1，
即
9
e2
-
1
e2
(
e2+3
e2-1
)2=1，
令t=e2，則t2-10t+25=0，∴t=5，即e=
5
．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)垂直的證明，考查雙曲線(xiàn)方程的求法，考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

二項(xiàng)式（2x-
1
x
）6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（　�。�
A、20B、-20
C、160D、-160

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定積分
∫
π
2
-
π
2
cos2xdx等于（　�。�
A、
π-2
4
B、
π-1
2
C、
π-1
4
D、
π
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果命題“￢（p∨q）”為假命題，則（　�。�
A、p、q均為假命題
B、p、q均為真命題
C、p、q中至少有一個(gè)為假命題
D、p、q中至少有一個(gè)為真命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)y=lg
2-x
2+x
+
1-2x
1+2x
+a在[-1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若P（x0，y0）在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1外，過(guò)P做橢圓的兩條切線(xiàn)切點(diǎn)為P1，P2，求切點(diǎn)弦P1P2所在的直線(xiàn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A（-
3
，
1
2
）為橢圓上一點(diǎn)，且AF1⊥x軸．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知命題：“已知M是橢圓C上異于左右頂點(diǎn)A1，A2的一點(diǎn)，直線(xiàn)MA1，MA2分別交直線(xiàn)l：x=m（m為常數(shù)）于不同兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N在直線(xiàn)l上，若直線(xiàn)MN與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，則N為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)”，試寫(xiě)出此命題的逆命題，判斷所寫(xiě)命題的真假，若為真命題，請(qǐng)你給出證明；若為假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）研究的結(jié)果，類(lèi)似地，請(qǐng)你寫(xiě)出雙曲線(xiàn)中的一個(gè)命題（不需證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

點(diǎn)M、N分別是△OAB的邊OA、OB上的點(diǎn)，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
（1）若M、N分別是OA、OB的中點(diǎn)，線(xiàn)段AN與BM的交點(diǎn)為P，試用
a
，
b
表示
OP
；
（2）若|
OM
|：|
OA
|=1：4，|
ON
|：|
OB
|=1：5，線(xiàn)段AN與BM交于點(diǎn)Q，試用
a
，
b
表示
OQ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為A（2，0），離心率為
2
2
．直線(xiàn)y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)B、D
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在這樣的直線(xiàn)，使得△ABD的面積為
10
3
，若存在，求出直線(xiàn)方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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