Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，2），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)R（x₀，y₀）是橢圓上的任意一點(diǎn)，從原點(diǎn)O引圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8的兩條切線分別交橢圓C于點(diǎn)P，Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：OP²+OQ²的值為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)M滿足橢圓方程和a，b，c的關(guān)系沒(méi)接到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)過(guò)原點(diǎn)圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=8的切線方程為y=kx，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，聯(lián)立直線OP、OQ方程和橢圓方程，求得P，Q的坐標(biāo)，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，2），
則$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=1，又e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
且a²-b²=c²，解得a=2$\sqrt{6}$，b=2$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；                       
（Ⅱ）證明：設(shè)直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
設(shè)過(guò)原點(diǎn)圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=8的切線方程為y=kx，
則有$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，整理得（x₀²-8）k²-2x₀y₀k+y₀²-8=0
即有k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-8}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-8}{{{x}_{0}}^{2}-8}$，
又因?yàn)?\frac{{{x}_{0}}^{2}}{24}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}$=1，所以可求得k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，
將y=k₁x代入橢圓方程x²+2y²=24，
得x₁²=$\frac{24}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，則y₁²=$\frac{24{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
同理可得x₂²=$\frac{24}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，y₂²=$\frac{24{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，
所以O(shè)P²+OQ²=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{24（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$
=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）（1+2{{k}_{2}}^{2}）+24（1+{{k}_{2}}^{2}）（1+2{{k}_{1}}^{2}）}{（1+2{{k}_{1}}^{2}）（1+2{{k}_{2}}^{2}）}$
=$\frac{24[3（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+1）]}{2（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+1）}$=36．
所以O(shè)P²+OQ²的值為定值36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，以及直線和圓相切的條件，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．