Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}=1$（0＜b＜3），左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₁的直線交橢圓于 A，B兩點(diǎn)，若|AF₂|+|BF₂|的最大值為8，則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用橢圓的定義可得：△AF₂B的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=12；若|AB|最小時(shí)，|BF₂|+|AF₂|的最大，又當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|最小，解出|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$，可得b，利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：∵|AF₁|+|AF₂|=6，|BF₁|+|BF₂|=6，
∴△AF₂B的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=12；
若|AB|最小時(shí)，|BF₂|+|AF₂|的最大，又當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|最小，
此時(shí)|AB|=$\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2{b^2}}}{3}$，
故$12-\frac{{2{b^2}}}{3}=8⇒b=\sqrt{6}$，
∴$c=\sqrt{3}$，
∴$e=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．