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設x∈(0，
π
2
)，則函數y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
的最小值為
6
6
．
分析：利用sin2x+cos2x=1，構造函數y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
+4，然后配湊為
1
cos2x
+4cos2x，
2
sinx
+
2
sinx
+4sin2x
利用基本不等式，求出函數的最小值．
解答：解：
y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
+4=
(
1
cos2x
+4cos2x)+(
2
sinx
+
2
sinx
+4sin2x)≥4+3
38
=10

取等號當且僅當
1
cos2x
=4cos2x
2
sinx
=4sin2x
，
∵x∈(0，
π
2
)，∴sinx=cosx=
2
2
，
即：x=
π
4
．
所以函數y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
的最小值為：6．
故答案為：6．
點評：本題是中檔題，合理構造函數利用基本不等式是解題的關鍵，注意等號成立的條件，滿足“正、定、等”的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設x∈(0，
π
2
)，求函數y=
225
4sin2x
+
2
cosx
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=asinx•cosx-
3
acos2x+
3
2
a+b（a＞0）
（1）寫出函數的最小正周期和對稱軸；
（2）設x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-2，最大值是
3
，求實數a，b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2cos
x
2
(
3
cos
x
2
-sin
x
2
)．
（1）設x∈[0，
π
2
]，且f（x）=
3
+1，求x的值；
（2）在△ABC中，內角A、B、C的對邊的邊長為a、b、c，AB=1，f（C）=
3
+1，且△ABC的面積為
3
2
，求a+b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
asinxcosx-a（cosx）2+b（a＞0）
（1）求函數f（x）的最小正周期以及單調遞增區(qū)間；
（2）設x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-1，最大值是2，求實數a的值．

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