Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中點(diǎn)．

（1）求證：AM∥平面PCD；
（2）設(shè)點(diǎn)N是線段CD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線MN與平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1）

設(shè)平面PCD的法向量是

又

（2）解：由點(diǎn)N是線段CD上的一點(diǎn)，可設(shè)

；

；

平面PAB的一個(gè)法向量為

設(shè)MN與平面PAB成θ角，則

令1+λ=t∈[1，2]

當(dāng)

∴當(dāng)點(diǎn)N是線段CD上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，MN與平面PAB所成角最大，最大角的正弦值為

【解析】（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出 的坐標(biāo)，再求出平面平面PCD的一個(gè)法向量 ，由 =0且AM面PCD內(nèi)得答案；（2）利用空間向量求出使直線MN與平面PAB所成的角最大時(shí)N的位置，然后再求出平面PBN的一個(gè)法向量，而 是平面PAB的一個(gè)法向量，由兩個(gè)法向量所成角的余弦值求得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則即可以解答此題．