Question

（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是減函數(shù)；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)．
設(shè)常數(shù)a∈（1，9），求函數(shù)f（x）=x+

a

x

在x∈[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用單調(diào)遞增函數(shù)的定義按步驟證明即可；
（2）要研究函數(shù)的最值，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，此題應(yīng)通過討論x=

a

與區(qū)間[1，3]的關(guān)系，確定出函數(shù)在[1，3]上的單調(diào)性，然后求出最值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：設(shè)x₁，x₂是（0，2]內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，

△y=f(x2)-f(x1)=x2+ 4 x2 -(x1+ 4 x1 )=(x2-x1)+( 4 x2 - 4 x1 ) =(x2-x1)+ 4(x1-x2) x2x1 =(x2-x1)(1- 4 x2x1 )=△x• (x1x2-4) x2x1

∵0＜x₁＜x₂≤2，∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，∴△y＜0．
因此，函數(shù)f(x)=x+

4

x

在（0，2]是減函數(shù)．
（Ⅱ）∵a∈（1，9），∴1＜

a

＜3
所以，函數(shù)f(x)=x+

a

x

在[1，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，3]上是增函數(shù)．∴當(dāng)x=

a

時，函數(shù)f（x）有最小值2

a

； 
又f(1)=1+a，f(3)=3+

a

3

，
最大值進行如下分類討論：
（ⅰ）當(dāng)f（1）≥f（3）時，即3≤a＜9時，當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）有最大值1+a；
（ⅱ）當(dāng)f（1）＜f（3）時，即1＜a＜3時，當(dāng)x=3時，函數(shù)f（x）有最大值3+

a

3

．

點評：證明函數(shù)的單調(diào)性一般利用定義證明，要注意作差時對符號的判斷方法；
第二問考查了分類討論思想在解題中的作用，要注意結(jié)合二次函數(shù)“軸變區(qū)間定”求最值的求法來理解本題解法．