Question

7．若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），設(shè)它在A點(diǎn)處的切線l，則過點(diǎn)A與l垂直的直線方程為4x+4y-3=0．

Answer 1

分析 利用待定系數(shù)法求出函數(shù)f（x）的解析式，然后求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解切線斜率可得垂直直線斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到．

解答 解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α，
∵冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴f（$\frac{1}{4}$）=（$\frac{1}{4}$）^α=$\frac{1}{2}$，即（$\frac{1}{2}$）^2α=$\frac{1}{2}$，
則2α=1，則α=$\frac{1}{2}$，即f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，
則f′（x）=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
則f′（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$×2=1，
則曲線y=f（x）在A點(diǎn)處的切線方程y-$\frac{1}{2}$=x-$\frac{1}{4}$，
則過點(diǎn)A與l垂直的直線方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{4}$），
即4x+4y-3=0．
故答案為：4x+4y-3=0．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)切線方程的求解，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵．