Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（a+2）x²+a（a+4）x+5在區(qū)間（-1，2）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 解法一：求出導函數(shù)，通過f′（x）＜0的解為（a，a+4），利用子集關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可．
解法二：求出f′（x），通過f′（x）≤0在區(qū)間（-1，2）上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解法一：f′（x）=x²-2（a+2）x+a（a+4）=（x-a）（x-a-4），…（4分）
f′（x）＜0的解為（a，a+4），…（7分）
∵f（x）在區(qū)間（-1，2）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴（-1，2）⊆（a，a+4），…（10分）
由此得a≤-1且a+4≥2，a的范圍是[-2，-1]．…（12分）
解法二：f′（x）=x²-2（a+2）x+a（a+4），…（2分）
∵f（x）在區(qū)間（-1，2）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0在區(qū)間（-1，2）上恒成立，…（4分）
∵二次函數(shù)f′（x）=x²-2（a+2）x+a（a+4）的開口向上，
∴f′（-1）=a²+6a+5≤0且f′（2）=a²-4≤0 …（10分）
解得a的范圍是[-2，-1]．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)恒成立，函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間的求法，轉(zhuǎn)化思想的應用．