Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)函數(shù)的圖象求出A，圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)，
求出?，利用圖象求出函數(shù)的周期，得到ω，即可求出函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，通過(guò)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸，直接求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和．

解答：解：（1）顯然A=2，
又圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)，
∴f（0）=1，
∴sin?=

1

2

，
∵|?|＜

π

2

，∴?=

π

6

；
由圖象結(jié)合“五點(diǎn)法”可知，(

11π

12

，0)對(duì)應(yīng)函數(shù)y=sinx圖象的點(diǎn)（2π，0），
∴ω•

11π

12

+

π

6

=2π，得ω=2．
所以所求的函數(shù)的解析式為：f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y=2sin(2x+

π

6

)和y=m（m∈R）的圖象，
由圖可知，當(dāng)-2＜m＜1或1＜m＜2時(shí)，直線y=m與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
∴m的取值范圍為：-2＜m＜1或1＜m＜2；
當(dāng)-2＜m＜1時(shí)，兩根和為

4π

3

；
當(dāng)1＜m＜2時(shí)，兩根和為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，�？碱}型．