Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

-1(a＞0，b＞0)的兩個焦點為F：(-2，0)，F(xiàn)：(2，0)，點P(3，

7

)
的曲線C上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得a²+b²=4，得到a和b的關(guān)系，把點（3，

7

）代入雙曲線方程，求得a，進而根據(jù)a²+b²=4求得b，雙曲線方程可得．
（2）可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，根據(jù)直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，進而可得k的范圍，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出|EF|和原點O到直線l的距離根據(jù)三角形OEF的面積求得k，進而可得直線方程．

解答：解：（Ⅰ）：依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（0＜a²＜4），
將點（3，

7

）代入上式，得

9

a2

-

7

4-a2

=1．解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求雙曲線方程為

x2

2

-

y2

2

=1．
（Ⅱ）：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k)2＞0

?

k≠±1 - 3 ＜k＜ 3

∴k∈（-

3

，-1）∪（1，

3

）．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則由①式得x₁+x₂=

4k

1-k2

，x1x2=

6

1-k2

，
于是，|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

而原點O到直線l的距離d=

2

1+k2

，
∴S_△OEF=

1

2

d•|EF|=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．
若S_△OEF=2

2

，即

2 2 3-k2

|1-k2|

=2

2

?k4-k2-2=0，解得k=±

2

，
滿足②．故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=

2

x+2和y=-

2

x+2．

點評：本題主要考查了雙曲線的方程和雙曲線與直線的關(guān)系．考查了學生綜合運算能力．