【題目】某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是個(gè)半圓,固定點(diǎn)E為CD的中點(diǎn).△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗(陰影部分均不通風(fēng)),MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿(MN和AB、DC不重合).
(1)當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí),求此時(shí)三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積;
(2)設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù)S=f(x);
(3)當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時(shí),三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積最大?并求出這個(gè)最大面積.

【答案】
(1)解:由題意,當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí),MN應(yīng)位于DC上方,且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米,又因?yàn)镋M=EN=1米,所以MN= 米,所以 ,即三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積為
(2)解:當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動,即 時(shí),△EMN的面積 ;

當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動,即 時(shí),△EMN的面積

綜上可得


(3)解:當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動時(shí),f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減,則f(x)<f(0)= ;

當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動, 等號成立時(shí),

因此當(dāng) (米)時(shí),每個(gè)三角形得到最大通風(fēng)面積為 平方米.


【解析】(1)當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時(shí),MN應(yīng)位于DC上方,且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米,從而可求MN的長,由三角形面積公式求面積(2)當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動,即 時(shí),由三角形面積公式建立面積模型.當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動,即 時(shí),由三角形面積公式建立面積模型.(3)根據(jù)分段函數(shù),分別求得每段上的最大值,最后取它們當(dāng)中最大的,即為原函數(shù)的最大值,并明確取值的狀態(tài),從而得到實(shí)際問題的建設(shè)方案.

練習(xí)冊系列答案
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2)已知點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn),在點(diǎn)處作曲線的切線與曲線交于另一點(diǎn),在點(diǎn)處作曲線的切線,設(shè)切線的斜率分別為,問:是否存在常數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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②(log2x)′= ;
③(3x)′=3xlog3e;
④(x2cos2x)′=﹣2xsin2x.
A.1
B.2
C.3
D.4

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