Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件：f（x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有兩等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程f（x）=2x有兩等根，ax2+（b﹣2）x=0有兩等根，

∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2，

∵f（x﹣1）=f（3﹣x），∴ =1，∴x=1是函數(shù)的對稱軸，

又此函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=﹣ ，∴﹣ =1，∴a=﹣1，

故f（x）=﹣x2+2x；

（2）解：∵函數(shù)f（x）=﹣x2+2x對稱軸為x=1，x∈[0，t]，

∴當(dāng)t≤1時，f（x）在[0，t]上是增函數(shù)，∴f（x）max=﹣t2+2t，

當(dāng)t＞1時，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，t]上是減函數(shù)，∴f（a）max=f（1）=1，

綜上， ．

【解析】（1）首先根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx得對稱軸為x=﹣ ，再根據(jù)f（x﹣1）=f（3﹣x）可得對稱軸為x=1，∴2a+b=0．根據(jù)f（x）=2x有兩等根，可得∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2（2）求f（x）在[0，t]上的最大值需要對定義域進行討論：分t＜1和t＞1兩種情形．
【考點精析】利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時在上遞減，當(dāng)時，．