水車問題.

水車是一種利用水流的動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具,下圖是一個(gè)水車的示意圖,它的直徑為3 m,其中心(即圓心)O距水面1.2 m.如果水車每4 min逆時(shí)針轉(zhuǎn)3圈,在水車輪邊緣上取一點(diǎn)P,我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),P點(diǎn)距水面的高度h(m)是一個(gè)變量,顯然,它是時(shí)間t(s)的函數(shù).我們知道,h與t的函數(shù)關(guān)系反映了這個(gè)周期現(xiàn)象的規(guī)律.為了方便,不妨從P點(diǎn)位于水車與水面交點(diǎn)Q時(shí)開始記時(shí)(t=0).

  首先,設(shè)法用解析式表示出這個(gè)函數(shù)關(guān)系,并用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖.

  其次,我們討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時(shí),所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將發(fā)生哪些變化?若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢,函數(shù)解析式中的參數(shù)又會(huì)受到怎樣的影響?

答案:
解析:

  解:不妨設(shè)水面的高度為0,當(dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到水面以下時(shí),P點(diǎn)距水面的高度為負(fù)值.

  如圖,設(shè)水車的半徑為R,R=1.5 m,水車中心到水面的距離為b,b=1.2 m;∠QOP為α;

  水車旋轉(zhuǎn)一圈所需的時(shí)間為T;單位時(shí)間(s)旋轉(zhuǎn)的角度(rad)為

  過P點(diǎn)向水面作垂線,交水面于M點(diǎn),PM的長度為P點(diǎn)的高度h.

  過水車中心O作PM的垂線,交PM于N點(diǎn),∠QON為φ

  從圖中不難看出:h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①

  用ω表示單位時(shí)間(s)內(nèi)水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角度(rad),這樣,在t時(shí)刻水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為:α=ωt.

  因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是ω,所以轉(zhuǎn)一圈所用的時(shí)間T=

  又由于水車輪每4 min轉(zhuǎn)3圈,水車旋轉(zhuǎn)一圈所需時(shí)間為T=80 s,可求出ω=rad/s.

  從圖中可以看出:sinφ,

  所以φ≈53.1°≈0.295π rad.

  把這些參數(shù)代入①,我們就可以得到h=1.5 sin(t-0.295π)+1.2(m),②

  這就是P點(diǎn)距水面的高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

  因?yàn)楫?dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到53.1°時(shí),P點(diǎn)到水面的距離恰好是1.2(m),此時(shí)t=≈11.8(s).

  故可列表、描點(diǎn),畫出函數(shù)在區(qū)間[11.8,918.]上的簡圖:

  如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少,將造成水車中心O與水面之間的距離發(fā)生改變,而使函數(shù)解析式中所加參數(shù)b發(fā)生變化.水面上漲時(shí),參數(shù)b減;水面回落時(shí),參數(shù)b增大.如果水車輪轉(zhuǎn)速加快,將使周期T減;轉(zhuǎn)速減慢,則使周期T增大.


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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

水車問題.

水車是一種利用水流的動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具,圖1-6-5是一個(gè)水車的示意圖,它的直徑為3 m,其中心(即圓心)O距水面1.2 m.如果水車每4 min逆時(shí)針轉(zhuǎn)3圈,在水車輪邊緣上取一點(diǎn)P,我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),P點(diǎn)距水面的高度h(m)是一個(gè)變量,顯然,它是時(shí)間t(s)的函數(shù).我們知道,h與t的函數(shù)關(guān)系反映了這個(gè)周期現(xiàn)象的規(guī)律.為了方便,不妨從P點(diǎn)位于水車與水面交點(diǎn)Q時(shí)開始記時(shí)(t=0).

首先,設(shè)法用解析式表示出這個(gè)函數(shù)關(guān)系,并用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖.

圖1-6-5

其次,我們討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時(shí),所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將發(fā)生哪些變化?若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢,函數(shù)解析式中的參數(shù)又會(huì)受到怎樣的影響?

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