Question

水車問題.

水車是一種利用水流的動力進(jìn)行灌溉的工具，圖1-6-5是一個水車的示意圖，它的直徑為3 m，其中心(即圓心)O距水面1.2 m.如果水車每4 min逆時針轉(zhuǎn)3圈，在水車輪邊緣上取一點(diǎn)P，我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動時，P點(diǎn)距水面的高度h(m)是一個變量，顯然，它是時間t(s)的函數(shù).我們知道，h與t的函數(shù)關(guān)系反映了這個周期現(xiàn)象的規(guī)律.為了方便，不妨從P點(diǎn)位于水車與水面交點(diǎn)Q時開始記時(t=0).

首先，設(shè)法用解析式表示出這個函數(shù)關(guān)系，并用“五點(diǎn)法”作出這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖.

圖1-6-5

其次，我們討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將發(fā)生哪些變化？若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？

Answer 1

解：不妨設(shè)水面的高度為0，當(dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到水面以下時，P點(diǎn)距水面的高度為負(fù)值.

如圖，設(shè)水車的半徑為R，R=1.5 m,水車中心到水面的距離為b，b=1.2 m；∠QOP為α；

水車旋轉(zhuǎn)一圈所需的時間為T；單位時間(s)旋轉(zhuǎn)的角度(rad)為.

過P點(diǎn)向水面作垂線，交水面于M點(diǎn)，PM的長度為P點(diǎn)的高度h.

過水車中心O作PM的垂線，交PM于N點(diǎn)，∠QON為φ.

從圖中不難看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.                       ①

用ω表示單位時間(s)內(nèi)水車轉(zhuǎn)動的角度(rad)，這樣，在t時刻水車轉(zhuǎn)動的角度為：α=ωt.

因?yàn)閱挝粫r間內(nèi)水車轉(zhuǎn)動的角度是ω，所以轉(zhuǎn)一圈所用的時間T=.

又由于水車輪每4 min轉(zhuǎn)3圈，水車旋轉(zhuǎn)一圈所需時間為T=80 s，可求出ω= rad/s.

從圖中可以看出：sinφ=，

所以φ≈53.1°≈0.295π rad.

把這些參數(shù)代入①，我們就可以得到h=1.5 sin(t-0.295π)+1.2(m)，    ②

這就是P點(diǎn)距水面的高度h關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式.

因?yàn)楫?dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到53.1°時，P點(diǎn)到水面的距離恰好是1.2(m)，此時t=≈11.8(s).

故可列表、描點(diǎn)，畫出函數(shù)在區(qū)間［11.8，918.］上的簡圖：

t	11.8	31.8	51.8	71.8	91.8
h=1.5sin(t-0.295π)+1.2(m)	1.2	2.7	1.2	-0.3	1.2

如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少，將造成水車中心O與水面之間的距離發(fā)生改變，而使函數(shù)解析式中所加參數(shù)b發(fā)生變化.水面上漲時，參數(shù)b減��；水面回落時，參數(shù)b增大.如果水車輪轉(zhuǎn)速加快，將使周期T減小；轉(zhuǎn)速減慢，則使周期T增大.