Question

6．函數(shù)f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 分類討論，去掉函數(shù)解析式的絕對值符號，利用導(dǎo)數(shù)法，分別求出滿足函數(shù)f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增的實數(shù)a的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：當a＜0時，令y=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$，
則y′=e^x-$\frac{a}{{e}^{x}}$＞0恒成立，
故y=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$為增函數(shù)，
令y=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$=0，
則x=$\frac{1}{2}$ln（-a），
若函數(shù)f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，
則$\frac{1}{2}$ln（-a）≤0，
解得：a∈[-1，0），
當a=0時，f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|=e^x在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，
當a＞0時，e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$＞0恒成立，函數(shù)f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$，
令y′=e^x-$\frac{a}{{e}^{x}}$=0，則x=$\frac{1}{2}$lna，
當x＜$\frac{1}{2}$lna時，y′＜0函數(shù)為減函數(shù)，
當x＞$\frac{1}{2}$lna時，y′＞0函數(shù)為減增函數(shù)，
若函數(shù)f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則$\frac{1}{2}$lna≤0，
解得：a∈（0，1]，
綜上所述，a∈[-1，1]．
故答案為：[-1，1]

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．