Question

6．若a，b是正實數(shù)，且a+b=2，則$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$的最小值是1．

Answer 1

分析 由題意可得（1+a）+（1+b）=4，代入可得$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$）[（1+a）+（1+b）]=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{1+b}{1+a}$+$\frac{1+a}{1+b}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a，b是正實數(shù)，且a+b=2，
∴（1+a）+（1+b）=4，
∴$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$）[（1+a）+（1+b）]
=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{1+b}{1+a}$+$\frac{1+a}{1+b}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{1+b}{1+a}•\frac{1+a}{1+b}}$）=1
當且僅當$\frac{1+b}{1+a}$=$\frac{1+a}{1+b}$即a=b=1時取等號，
故答案為：1．

點評 本題考查基本不等式求最值，湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬基礎題．