Question

將邊長為2，一個內(nèi)角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成四面體ABCD，點E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點，則下列命題中正確的是______．
①EF∥AB；②EF⊥BD；③EF有最大值，無最小值；④當四面體ABCD的體積最大時，AC=

6

； ⑤AC垂直于截面BDE．

Answer 1

如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，故①不正確．
由等腰三角形的中線性質(zhì)得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，故②正確．
EF是等腰三角形FAC的底邊上的中線，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=

3

，斜邊AC的長度不定，
故 EF無最大值，也無最小值，故③不正確．
當四面體ABCD的體積最大時，因為等邊△ABD的面積為定值，故面SBD⊥面ABD，CF為四面體的高，AC=

CF2+FA2

=

3+3

=

6

，故④正確．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正確．
綜上，②④⑤正確，
故答案為 ②④⑤．