Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期為

2π

3

，最小值為-2，圖象過(guò)（

5π

9

，0），求：
（1）該函數(shù)的解析式；
（2）若x∈[0，

π

3

]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，

π

3

]，且g（x）=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意知，A=2，由T=

2π

3

=

2π

ω

易求ω=3；由3×

5π

9

+φ=kπ（k∈Z），|φ|＜

π

2

，可求得φ，從而得該函數(shù)的解析式；
（2）x∈[0，

π

3

]⇒3x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]⇒-

3

2

≤sin（3x+

π

3

）≤1；從而可得f（x）的值域；
（3）依題意知，當(dāng)

π

3

≤3x+

π

3

≤

2π

3

且3x+

π

3

≠

π

2

，即0≤x≤

π

9

且x≠

π

18

時(shí)，g（x）=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)可解得

3

2

≤sin（3x+

π

3

）＜1，從而可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意，知A=2，由T=

2π

3

=

2π

ω

得：ω=3；
又3×

5π

9

+φ=kπ（k∈Z），
∴φ=kπ-

5π

3

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（3x+

π

3

）；
（2）∵x∈[0，

π

3

]，
∴3x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（3x+

π

3

）≤1；
∴f（x）的值域?yàn)閇-

3

，2]；
（3）由（2）知3x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
當(dāng)

π

3

≤3x+

π

3

≤

2π

3

且3x+

π

3

≠

π

2

，即0≤x≤

π

9

且x≠

π

18

時(shí)，g（x）=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)

3

2

≤sin（3x+

π

3

）＜1，

3

≤f（x）=2sin（3x+

π

3

）＜2，
即

3

≤a＜2，
∴a的取值范圍為[

3

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．