Question

函數(shù)f（x）=2sin²ωx+sin2ωx-1　（ω＞0）
①若對(duì)任意x∈R恒有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），求|x₁-x₂|的最小值；
②若f（x）在[0，]上是單調(diào)函數(shù)，求整數(shù)ω的值．

Answer 1

解：f（x）=2sin（2ωx-），
①由f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）知：x₁、x₂分別是函數(shù)y=f（x）的最小值、最大值點(diǎn)，
最小、最大值點(diǎn)間最近的距離為半個(gè)周期，得；
②視2ωx-為一個(gè)角θ，則θ∈[-，-]，
函數(shù)y=2sinθ在[-，-]上單調(diào)，則-≤，得0＜ω≤，
又ω為整數(shù)，∴ω=1．
分析：①先根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)，再由f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）可確定x₁、x₂分別是函數(shù)y=f（x）的最小值、最大值點(diǎn)，根據(jù)最小、最大值點(diǎn)間最近的距離為半個(gè)周期，得|x₁-x₂|的最小值．
②將2ωx-看做一個(gè)角θ，進(jìn)而可確定θ的取值范圍，再由y=2sinθ在[-，-]上單調(diào)得到-≤，即可得到ω的范圍，結(jié)合ω為整數(shù)可確定最后答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用和三角函數(shù)的基本性質(zhì)--單調(diào)性和周期性．考查考生對(duì)三角基礎(chǔ)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，以及綜合運(yùn)用能力．