Question

(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是，函數(shù)g(x)= (a、b∈R，a≠0)在x=2處取得極值-2．

(1)求函數(shù)f(x)、g(x)的解析式；

(2)若函數(shù)(其中是g(x)的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間(，)沒有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)k∈Z，當(dāng)時，不等式恒成立，求k的最大值．

Answer 1

(1) f(x)=lnx(x>0)，g(x)=(x∈R)；(2) ∈(，0)；(3) 最大整數(shù)的值為5.

【解析】

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別列方程組求出 的值，從而求得函數(shù) 的解析式；

(2) 先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合此單調(diào)區(qū)間，確定 的取值范圍.

(3)首先，因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070406005509353985/SYS201507040601007187720472_DA/SYS201507040601007187720472_DA.008.png">等價于

(∵)，然后構(gòu)造函數(shù)()，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.

試題解析：【解析】
(1)由f(x)=()，可得()，

∴f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是，

即，依題該直線與直線重合，

∴，可解得．

∵又g(x)= 可得，且g(x)在x=2處取得極值-2．

∴，可得解得，．

所求f(x)=lnx(x>0)，g(x)=(x∈R)；

(2)∵，令(x>-1) ∵(x>-1)，∴在(-1，0]遞增，在[0，+∞)上遞減，∵在區(qū)間(，)不單調(diào)，∴且．故所求實(shí)數(shù)∈(，0)；

(3)∵不等式等價于

(∵)，令()，

∴，

又令()，∵(∵)

由，故存在唯一使，

即滿足當(dāng)x∈(1，]時，；當(dāng)x∈(，+∞)時，；∴x∈(1，]時，，x∈(，+∞)時，；

也即在(1，]上遞減，在(，+∞)上遞增；

∴ (∵)，又∵，，且在(1，+∞)連續(xù)不斷，∴，∈(5，6)．

故所求最大整數(shù)的值為5．

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；3、等價轉(zhuǎn)化的思想.