Question

已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)到其漸進(jìn)線的距離為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合．過該拋物線的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，正三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線上，則△ABC的邊長(zhǎng)是 ( )

A.8 B.10 C.12 D.14

Answer 1

C

【解析】

試題分析：因?yàn)殡p曲線的離心率，所以， ，

因?yàn)殡p曲線右焦點(diǎn)到其漸進(jìn)線的距離為，所以，

即：

雙曲線的右焦點(diǎn)也即拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，

所以拋物線的方程為，

設(shè)AB的中點(diǎn)為M，過A、B、M分別作AA1、BB1、MN垂直于

直線于A1、B1、N，設(shè)∠AFx=，由拋物線定義知：

|MN|，∵|MC|，

∴|MN||MC|，∵∠CMN=，

∴，即，

又由拋物線定義知|AF|，|BF|，∴|AB|．

即正三角形ABC的邊長(zhǎng)為12.故選C.

考點(diǎn)：1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線的位置關(guān)系.